complejos

El número

complejo

Historia.-

El gran matemático Diofanto (275 d.C) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3, 4 y 5 unidades

Evidentemente el triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:

3² + 4² = 5²

Al ser un triángulo rectángulo es fácil comprobar que el área es 6 unidades.

Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades.

Su planteamiento fue el siguiente

• 
  un cateto mediría x
  
• 
  como el área debía ser 7, el otro cateto será 14/x.
  
• 
  la hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras
  

pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12

Por tanto se debe cumplir la ecuación:

De donde se llega fácilmente a:

Cuya solución Diofanto expresó como

Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a –1, por tanto, el problema no tenía solución.

Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse.

En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i (por imaginario).

Euler

Definición.- El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).

La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales

Representación binomial

Un número complejo se representa en forma binomial como:

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r e^iφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e^iφ es la conocida fórmula de Euler.

Conjugado de un número complejo

El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:

Representación trigonométrica (polar) y representación geométrica

Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b), denominado vector de posición.

Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado | z | .

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado .

OPERACIONES CON COMPLEJOS

Adición de números complejos

La suma de dos números complejos es otro complejo que tiene por componente real la suma de las componentes reales y por componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los sumandos.

 Multiplicación de números complejos

El producto de dos números complejos es otro complejo que se obtiene escribiendo los complejos dados en forma binómica y realizando la multiplicación algebraica, teniendo en cuenta que i² = -1

Es decir:

División de números complejos

  Para dividir dos números complejos se escribe el cociente indicado en forma binómica, y se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.

 Variables y funciones Complejas

Un símbolo, tal como z, que representa a cualquier elemento de un conjunto de números complejos se llama variable compleja.

Si a cada valor que puede tomar la variable compleja z le corresponde uno o más valores de una variable compleja w, decimos que w es una función de z y escribimos w = f(z). La variable z frecuentemente es llamada variable independiente, mientras que la variable w es la variable dependiente. El valor de una función en z = a se representa f (a).

Funciones exponenciales

Funciones exponenciales son las definidas por

donde e = 2'71828... es la base de los logaritmos naturales. Si a es un número real positivo definimos

 

donde ln a es el logaritmo natural de a.

Las funciones exponenciales complejas tienen propiedades semejantes a las de las funciones exponenciales reales, por ejemplo, .

  Funciones trigonométricas

Muchas de las propiedades de las funciones trigonométricas reales son también válidas para el caso de las funciones trigonométricas complejas. Por ejemplo:

   

Funciones logarítmicas

Si z = e^{w, entonces escribimos w = ln z, llamado el logaritmo natural de z. Entonces la función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial y podemos definirla por}

^{donde z = reiq=rei(q+2kp )}

^{Esa función es multivaluada, por ello se define el valor principal o rama principal de la función ln z como ln z +iq, donde . Esta definición es un convenio, se podría definir de igual forma tomando q en cualquier intervalo de amplitud 2p .}

^{La función logarítmica compleja se puede definir para cualquier base real, como la inversa de la correspondiente función exponencial.}

  ^{La fórmula de De Moivre}

^{nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:}

^{LOS NUMEORS COMPLEJOS ESTÁN DESORDENADOS}

^{Supongamos que i es menor o igual que 0:}

^{Por las propiedades de la relación de orden sabemos que si multiplicamos a ambos lados por i la desigualdad cambia de sentido (al ser i en este caso un número negativo). Usando que i2 = -1 y que i·0 = 0 queda:}

^{Lo cual es imposible.}

 
^{-Supongamos ahora que 0 es menor o igual que i:}         

^{Como ahora i es positivo si multiplicamos a ambos lados por él la desigualdad se debe mantener igual. Usando las mismas propiedades anteriores obtenemos:}

^{Que como antes es absurdo.}

^{Por tanto, como acabamos de ver, no podemos definir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos cuya restricción a los números reales sea la que conocemos de toda la vida}